Opis modelu STOCH-SEIR

Założenia modelu

Model SEIR w wersji bayesowskiej zakłada istnienie pięciu grup w populacji:

Dodatkowo w modelu bayesowskim grupy populacji związane są z danymi:

Parametry modelu

Kluczowe sześć parametrów modelu:

Przejścia pomiędzy stanami

Model danych

Sposób estymacji parametrów

Dla wyżej opisanego modelu parametry β, γ, η, σ, δ zostały opisane rozkładem a priori gamma z hiperparametrami dobranymi z literatury, lub z wcześniejszych wniosków z deterministycznego modelu SEIR. Dodatkowo dla parametrów δ, η , zadano rozkład a priori jednostajny na odcinku [0,1]. Dla tak wyprowadzonego modelu rozkład a posteriori parametrów został wyznaczony za pomocą metody Monte Carlo (Algorytm Metropolisa wewnątrz próbnika Gibbsa). Końcowe estymatory parametrów zostały wyznaczone przez wartości oczekiwane rozkładu a posteriori natomiast przedziały ufności za pomocą kwantyli tego rozkładu. (Wyznaczono estymatory bayesowskie przy kwadratowej funkcji straty)

Prognozowanie

Po wyestymowaniu parametrów do prognozowania potrzebne jest określenie liczby testów wykonanych w przyszłości. W tym celu przybliżono wzrost liczby testów na podstawie dotychczasowych danych. Zależność pomiędzy liczbą testów a czasem została modelowana przez model liniowy po transformacji Boxa-Coxa. Dodatkowo, założyliśmy, że liczba testów jednego dnia nie może przekroczyć możliwości systemu (25 tys. dotychczas). Dodatkowo przyjęto logarytmiczny wzrost δ odzwierciedlający zwiększenie wykrywania przypadków wraz ze wzrostem liczby testów. Funkcja logarytmiczna jest dobrana tak, aby początkowo następował liniowy wzrost wykrywalności i dynamika wzrostu spadała po osiągnięciu 2δ. Przedziały ufności dla prognoz otrzymano przez uśrednienie trajektorii w przyszłości względem rozkładu a posteriori.

Rysunek 1. Schematyczne przedstawienie modelu stochSEIR. Schemat przedstawia znaczenie poszczególnych stanów względem opisu klinicznego zakażonego oraz wskazuje jakie dane mogą być użyte do kalibracji modelu, jak również wyprowadzania predykcji.

Lista parametrów rozkładów a priori

Lista parametrów rozkładów a posteriori

Parametry a posteriori β1 β2 β3 β4 γ-1 σ-1 δ η12)
β1, D β1, U β2, D β2, U β3, D β3, U β4, D β4, U
02-05-2020 1.1 (0.782 - 1.37) 0.642 (0.569 - 0.715) 0.112 (0.0669 - 0.201) 33.3 (11.6 - 162) 5.56 (3.25 - 7.87) 0.0775 (0.0575 - 0.107) 0.0004 (0.000285 - 0.000618)
07-05-2020 1.14 (0.782 - 1.45) 0.661 (0.591 - 0.793) 0.11 (0.0607 - 0.208) 33.9 (11.3 - 216) 5.68 (3.19 - 9.26) 0.0784 ( 0.0571 - 0.106) 0.000382 (0.000271 - 0.000585)
09-05-2020 1.18 (0.772 - 1.56) 0.648 (0.588 - 0.705) 0.101 (0.0572 - 0.177) 34.4 (12.2 - 207) 5.85 (3.14 - 8.4) 0.071 (0.0519 - 0.0922) 0.000353 (0.000257 - 0.000541)
15-05-2020 1.21 (0.977 - 1.77) 2.16 (2.16 - 2.16) 0.504 (0.466 - 0.608) 0.616 (0.554 - 0.67) 0.0587 (0.0465 - 0.111) 0.118 (0.0885 - 0.15) 8.4 (6.45 - 10.9) 5.95 (5.68 - 6.21) 0.0634 (0.0493 - 0.122) 0.538 (0.217 - 0.732)
17-05-2020 1.31 (0.97 - 1.95) 1.5 (1.27 - 2.04) 0.607 (0.517 - 0.679) 0.535 (0.391 - 0.662) 0.047 (0.033 - 0.058) 0.228 (0.0999 - 0.356) 0.104 (0.066 - 0.146) 0.17 (0.0728 - 0.302) 5.08 (3.73 - 11.2) 4.67 (3.5 - 6.33) 0.0652 (0.0557 - 0.0778) 0.494 (0.3865 - 0.5)
20-05-2020 1.06 (0.641 - 1.76) 2.28 (1.87 - 2.55) 0.592 (0.509 - 0.706) 0.642 (0.541 - 0.766) 0.0667 (0.0456 - 0.0897) 0.0978 (0.0826 - 0.112) 0.1 (0.0633 - 0.148) 0.106 (0.0585 - 0.16) 9.8 (8.2 - 12.8) 6.58 (5.59 - 7.52) 0.0704 (0.0611 - 0.0867) 0.4765 (0.3255 - 0.5)
23-05-2020 1.52 (1.22 - 1.73) 1.58 (1.34 - 2.09) 0.754 (0.661 - 0.941) 0.644 (0.548 - 0.73) 0.0941 (0.0733 - 0.111) 0.128 (0.0886 - 0.163) 0.136 (0.09 - 0.229) 0.142 (0.0639 - 0.202) 7.58 (6.41 - 11.6) 6.54 (5.78 - 7.52) 0.0951 (0.0827 - 0.117) 0.472 (0.273 - 0.5)
27-05-2020 1.24 (0.926 - 1.6) 1.56 (1.37 - 1.77) 0.616 (0.551 - 0.681) 0.571 (0.51 - 0.616) 0.0638 (0.0501 - 0.0787) 0.114 (0.0904 - 0.132) 0.101 (0.0672 - 0.136) 0.107 (0.0515 - 0.157) 10.5 (8.2 - 16.7) 5.81 (5.29 - 6.67) 0.0826 (0.0764 - 0.0924) 0.498 (0.4995 - 0.5)
29-05-2020 1.29 (0.757 - 2.88) 2.1 (1.87 - 2.32) 0.778 (0.642 - 0.909) 0.619 (0.534 - 0.694) 0.0891 (0.0704 - 0.117) 0.111 (0.0753 - 0.147) 0.141 (0.0874 - 0.192) 0.0807 (0.0345 - 0.146) 8.85 (7.19 - 11.6) 7.19 (6.67 - 7.81) 0.0897 (0.0736 - 0.108) 0.464 (0.291 - 0.5)
05-06-2020 1.01 (0.82 - 1.56) 1.8 (1.67 - 1.94) 0.723 (0.539 - 0.798) 0.485 (0.401 - 0.574) 0.0795 (0.0612 - 0.0951) 0.118 (0.103 - 0.144) 0.138 (0.11 - 0.166) 0.0574 (0.0306 - 0.0839) 9.62 (7.87 - 12.1) 5.88 (5.65 - 6.06) 0.0917 (0.0834 - 0.109) 0.4765 (0.324 - 0.5)
07-06-2020 0.742 (0.572 - 0.969) 1.92 (1.71 - 2.08) 0.797 (0.715 - 1.01) 0.53 (0.474 - 0.569) 0.0782 (0.0615 - 0.0978) 0.127 (0.108 - 0.154) 0.0699 (0.0354 - 0.0988) 0.0574 (0.0306 - 0.0839) 8.2 (6.67 - 9.62) 5.46 (5.21 - 5.75) 0.0913 (0.0862 - 0.101) 0.392 (0.2575 - 0.5)
11-06-2020 1.05 (0.781 - 1.45) 1.63 (1.51 - 1.76) 0.755 (0.67 - 0.931) 0.472 (0.443 - 0.516) 0.0829 (0.0511 - 0.114) 0.112 (0.0958 - 0.124) 0.163 (0.121 - 0.212) 0.0779 (0.0598 - 0.115) 8.77 (7.81 - 10.5) 4.78 (4.5 - 5.35) 0.0863 (0.0816 - 0.0918) 0.3555 (0.2665 - 0.4285)
15-06-2020 0.792 (0.633 - 1.1) 1.87 (1.61 - 2.04) 0.675 (0.566 - 0.806) 0.575 (0.515 - 0.639) 0.0623 (0.045 - 0.0743) 0.136 (0.121 - 0.163) 0.147 (0.13 - 0.176) 0.071 (0.0549 - 0.0883) 9.17 (8.26 - 10.3) 5.62 (5.1 - 5.95) 0.09 (0.0816 - 0.098) 0.458 (0.316 - 0.5)
18-06-2020 0.822 (0.678 - 1.09) 1.54 (1.24 - 1.77) 0.642 (0.575 - 0.72) 0.592 (0.549 - 0.668) 0.0883 (0.0555 - 0.105) 0.129 (0.115 - 0.147) 0.135 (0.111 - 0.172) 0.0973 (0.0726 - 0.131) 8.06 (6.54 - 10.2) 4.93 (4.15 - 5.75) 0.095 (0.0889 - 0.1) 0.467 (0.303 - 0.5)
24-06-2020 1.33 (1.02 - 1.89) 1.83 (1.73 - 1.94) 0.67 (0.625 - 0.717) 0.535 (0.513 - 0.575) 0.0947 (0.0741 - 0.113) 0.105 (0.0974 - 0.112) 0.146 (0.126 - 0.158) 0.0754 (0.0656 - 0.0857) 9.52 (8.4 - 10.9) 5.46 (5.24 - 5.65) 0.0878 (0.0811 - 0.094) 0.319 (0.27 - 0.3495)
01-07-2020 1.14 (1.12 - 1.17) 1.82 (1.8 - 1.84) 0.927 (0.916 - 0.965) 0.489 (0.482 - 0.5) 0.0801 (0.076 - 0.0828) 0.118 (0.117 - 0.12) 0.17 (0.145 - 0.179) 0.0692 (0.0644 - 0.0778) 9.43 (9.35 - 9.43) 5.35 (5.32 - 5.41) 0.093 (0.0892 - 0.0944) 0.2795 (0.2725 - 0.283)